Множество Мандельброта

Я всегда говорю, что не все любят математику. Это нельзя отнести к фракталам, неимоверно интересной математике восьмидесятых. Множество Мандельброта можно создать двумя строчками компьютерного кода. Но что, же такое фракталы?

Бенуа Мандельброт (Benoît B. Mandelbrot), родился в Польше и получил образование в Парижской Политехнической школе. Он также был очарован Иоганом Кеплером (Johannes Kepler), «отцом планетарного движения» 17 века, и отправился в более современное научное изыскание, которое в конце концов привело его в MIT, а затем в IBM.

Как и Кеплер, Мандельброт интересовался математическими моделями, особенно нерегулярными математическими формами, встречающимися в природе. От изучения законов энергии до визуализации моделей телефонных помех, его меандрирующие исследования привели его к ключевому понятию: фракталу.

Фракталы являются рекурсивными и бесконечно самоподобными математическими множествами, которые мы регулярно видим в природе. Цветная капуста - это фрактал: она состоит из цветочков, каждый из которых выглядит как меньший цветок капусты. Сорвите один цветок, и его отдельные стебли выглядят как - цветок капусты!

Итак, как далеко можно зайти, пока природная форма фрактала не сломалась, а цветная капуста не превратилась в нечто другое? В 1967 году Мандельброт поинтересовался, какова длина береговой линии Британии. Это не простой вопрос, как может показаться, так как Британия - это фрактал.

Если смотреть сверху - побережье Британии имеет плавные изгибы, но чем ближе вы подбираетесь, тем более неровными они становятся, и тем больше грубые узоры повторяются по мере того, как вы достигаете микроскопического уровня. К 1980 году Мандельброт располагал вычислительной мощью для визуализации таких рекурсивных шаблонов.

Комплексные числа основаны на числе i, определяемом как квадратный корень из -1. В реальности этого квадратного корня не существует, но итальянские математики 16 века обнаружили, что если бы вы представили, что он существует, то могли бы решить некоторые довольно сложные уравнения. Это очень забавное наблюдение!

В данном случае удобно создать двумерное пространство - комплексную плоскость, в которой реальные числа располагаются вдоль оси x, а воображаемые (вычисляемые с помощью i) - на оси y. Любая точка на плоскости представляет собой комплексное число, т.е. имеет к нему вещественную и мнимую составляющую.

Зачем использовать комплексную плоскость? Оказывается, в реальном мире есть много вещей, которые легче понять, если использовать комплексное, а не реальное число. От переменного тока до турбулентности они помогают нам понять нестандартные вещи.

Вы можете использовать комплексные числа в ряде формул; если вы вернете ответ обратно в формулу и повторите много тысяч раз, вы получите диапазон ответов (включая бесконечные – их нужно игнорировать!), которые вы можете отобразить на комплексной плоскости.

Теперь смотрим на шаблон...

Гастон Морис Жюлиа (Gaston Maurice Julia) сделал это в 1915 году, и его множество Жюлиа показывают комплексную фрактальную структуру, которая может возникнуть при использовании рекурсивной формулы. Однако Жюлиа был ограничен в визуализации множества, технологии того времени этого не позволяли. А вот Мандельброт был в IBM!

Мандельброт использовал компьютеры IBM для работы над простейшими и комплексными уравнениями: Z переходит в квадрат Z плюс C (где Z - комплексное число, а C - комплексная константа). Он прогонял это несколько тысяч раз, возвращая результат обратно в уравнение. Затем он нанес его на карту комплексной плоскости.

Результатом, впервые визуализированным 1 марта 1980 года, стало изображение в форме жучка. Но посмотрите поближе на края: узоры кажутся повторяющимися, но более сложными, и представляются бесконечными. Чем больше циклов уравнения вы выполняете, тем большую часть этой детали вы раскрываете.

Фрактал имеет определенную геометрию; Есть параметры и правила в игре. Но детали кажутся бесконечными. Точки, расположенные очень близко друг к другу, могут демонстрировать совершенно разное поведение по краям множества. Это математическое выражение хаоса.

Во множестве Мандельброта всегда есть путь от одной его точки к другой, но каждый участок пути бесконечно длинный и отображает разные детали на разных глубинах. Однако всё множество конечно и вписывается в окружность радиуса 2. Это была геометрия не в том виде, в каком мы ее знали!

В своей книге «Фрактальная геометрия природы», вышедшей в 1982 году, Мандельброт высказал предположение, что эти рекурсивные закономерности встречаются во всем многообразии природы; фрактальная геометрия является ключом к пониманию турбулентных систем и может быть применена ко всему, начиная от астрофизики и заканчивая фондовым рынком.

Но именно образы, а не математика, привлекли внимание общественности. Вскоре фрактальные изображения появились на плакатах, футболках и заставках. Это был крутой, безумный прогресс в математике.

Так для чего мы используем фракталы? В науке  это полезный способ картирования роста и активности динамических систем. Фрактальные антенны помогают поддерживать мобильную телефонную сеть. Это оказало большое влияние на компьютерную графику: Звезда Смерти в Возвращении Джедая - это фрактальная графика.

Искусствоведение рассматривает фракталы в творчестве Джексона Поллока, в то время как литературоведение сейчас изучает фракталы в языке и литературе. Знаете какой самый фрактальный роман написанный на сегодняшний день? «Поминки по Финнегану» Джеймса Джойса.